Razão entre "a" e "b" = a / b , onde "b" é diferente de zero.
Obs: O símbolo / é convenção de divisão.
Proporção entre as razões "a / b" e "c / d", indica que a:b::c:d, que se lê: "a" está para "b" assim como "c" está para "d".
* "b" e "c" são os meios e "a" e "d" são os extremos.
* "a" e "c" são os antecedentes e "b" e "d" são os consequentes.
Propriedades da proporção importantes:
1ª) O produto dos meios é igual ao produto dos extremos;
2ª) A soma ou diferença dos antecedentes está para a soma ou diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para seu consequente.
Exercícios
I- Dados os números 28, 7 e 12, determine a quarta proporcional.
28:7::12:d => 28 / 7 = 12 / d => 28 x d = 7 x 12 => d = (7 x 12)/28 => d = 3.
II- Ache a média geométrica ou média proporcional entre 9 e 4.
Quando o problema se refere a média proporcional implica que está se referindo a proporção contínua, cujo conceito é o seguinte: "se os meios ou os extremos de uma porporção são iguais, indica que esta é uma proporção contínua."
Assim, podemos formar a seguinte proporção: 9 / z = z / 4 => 9 x 4 = z x z => 36 = z 2 => ± 6 = z, logo a resposta é z = 6.
Obs: O 9 e o 4 são denominados de terceira proporcional, que é qualquer dos elementos não repetidos de uma proporção contínua, sendo que o 9 é a terceira proporcional entre z e 4 e o 4 é a terceira proporcional entre 9 e z.
Divisão Proporcional
Inicialmente devemos destacar dois conceitos importantes:
Grandezas Diretamente Proprcionais -> são grandezas (dados mensuráveis) que aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão.
16 / 2 = 8, indica que 16 é diretamente proporcional a 2, pois se aumentarmos 16 na razão 3, necessariamente teremos que aumentarmos o 2 na mesma razão para mantermos a proporção, ou seja 16 x 3 = 48 e 2 x 3 = 6 então (48 / 6) = 8 .
Grandezas Inversamente Proprcionais -> são grandezas que aumentando uma delas numa determinada razão, a outra diminui nessa mesma razão e da mesma forma, diminuindo uma delas a outra aumenta.
Exercício
Dividir 642 em partes diretamente proporcionais a 4, 5 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 10 e 16.
a/4 = b/5 = c/8 e também a/(1/2) = b/(1/10) = c/(1/16), assim:
a/[4 x (1/2)] = b/[5 x (1/10)] = c/[8 x (1/16)] = (a + b + c)/ {[4 x (1/2)] + [5 x (1/10)] + [8 x (1/16)] } -> aqui usamos a 2ª propiedade.
se a + b + c = 642 => (a / 2) = (b / 0,5) = (c / 0,5) = 642 / (2 + 0,5 + 0,5)
(a/2) = (642/3) => (a/2) = 214 => a = 2 x 214 => a = 428
(b/0,5) = 214 => b = 107
(c/0,5) = 214 => c = 107
a + b + c = 428 + 107 + 107 = 642
Regra de Sociedade
Nada mais é do que a aplicação das regras da proporção para dividirmos o lucro ou o prejuízo de um grupo, de duas ou mais pessoas, que constituem uma sociedade.
Exercícios
1- Três sócios têm que dividir um lucro de R$60.000,00 sendo que o sócio A investiu R$5.000,00 , o B com R$15.000,00 e C com R$30.000,00.
A / 5.000,00 = B / 15.000,00 = C / 30.000,00 e A + B + C = 60.000,00, então:
Usando a 2ª Propriedade:
A / 5.000,00 = (A + B + C) / (5.000,00 + 15.000,00 + 30.000,00)
A / 5.000,00 = 60.000,00 / 50.000,00
A / 5.000,00 = 1,2 => A = 6.000,00
B / 15.000,00 = 1,2 => B = 18.000,00
C / 30.000,00 = 1,2 => C = 36.000,00
2- Três sócios têm que dividir um lucro de R$90.000,00 sendo que o sócio A investiu R$15.000,00 durante 2 anos, B durante 4 anos aplicou R$5.000,00 e C investiu R$30.000,00 durante 1 ano e 3 meses.
Trata-se de regra de sociedade composta, assim:
Primeiramente devemos colocar os dados na mesma unidade; assim 1 ano e 3 meses é 1 ano + 3/12 a = 1 + 0,25 = 1,25 ano.
A / ( 15.000 x 2 ) = B / ( 5.000 x 4 ) = C / ( 30.000 x 1,25) =>
Se A + B + C = 90.000 => ( A / 30.000 ) = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) => A = 30.857,14;
( B / 20.000 ) = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) =>
B = 20.571,43;
( C / 37.500) = 90.000 / ( 30.000 + 20.000 + 37.500 ) =>
C = 38.571,43
Simples
Exercícios
I- Apliquei determinada quantia por 2 dias e lucrei R$150,00. Se eu aplicar por 4 anos quanto lucrarei?
Inicialmente faremos uma regra de três para obtermos a mesma unidade, ou seja:
1 ano - 365 dias
X ano - 2 dias , assim X = 2/365 ano
E agora vamos calcular o lucro de 4 anos:
(2/365) ano - R$150,00
4 anos - X , indica que X = (4 x 150)/ (2/365) => X = R$109.500,00
II- De Belém até Mosqueiro eu levo 40 minutos a 100 km/h. Se meu pé resolver pesar e o velocímetro marcar 120 km/h em quanto tempo eu chegarei lá?
*Bem, aqui você percebe que as grandezas são inversamente proporcionais, pois quanto maior a velocidade, menor é o tempo que eu levo para chegar em Mosqueiro, certo? Assim:
40 min - 100 km
X min - 120 km, agora devemos inverter a segunda relação, em função da proporcionalidade inversa, então: X = (40 x 100)/120 => X = 33,33 minutos.
Regra de Três
Composta
Exercícios
I- 55 homens trabalhando 2 horas por dia constroem um muro de 5 metros em 2 anos. Quantos homens, em 6 meses, construirão um muro de 3 metros trabalhando 8 horas por dia?
55 H - 2 h (i) - 5 m - 2 a (i)
X H - 8 h (i)- 3 m - 1/2 a (i), o (i) significa proporcionalidade inversa.
Então, (55/X) = {[(8/2) x (5/3) x [(1/2)/2]} => X = 33 H
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